Евгений Леонидович Савин родился 19 апреля 1984 года в Белозерске, расположенном на северо-западе России, в семье работников нефтехимической промышленности. Однако детство будущего футболиста прошло в Тобольске, куда родители переехали, когда Женя и его сестра Аня были маленькими. В этом сибирском регионе старшие Савины устроились на предприятие, которое спонсировало местный футбольный клуб «Иртыш» Это и предопределило профессиональную судьбу их сына.
И хотя первым спортивным предпочтением Евгения был хоккей, он сумел переключиться на игру с мячом и в младшем возрасте с удовольствием бегал по импровизированному полю в компании соседских детей.
Тогда отец отвел мальчика в заводскую футбольную школу, где, помимо обязательных упражнений, в образовательную программу входило посещение матчей местного клуба «Тюмень». Вскоре Женя и сам дебютировал в юношеских соревнованиях. Став одним из лучших игроков команды, получил приз из рук знаменитого полузащитника Федора Черенкова.